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ペテルセン

Author:ペテルセン
★名前★ペテルセン(元猫顔)
★性別★女
★性格★動物占いでいうとペガサス
     歴史人物占いだと、かぐや姫。
    どちらも規格外生物。
    気まぐれで我が道を行く性格デス。
★好きなもの★おいしいもの
         落書き
         幾何学。
★趣味★読書
★その他★数学専攻のくせに右脳人間(汗
数学を右脳で考えられないかと日々奮闘。
でも、最近は論理的なことも大事だと、右脳に偏り過ぎないように注意しています。


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相加・相乗平均をもう一度。

ギリシャの一部では、相加・相乗平均を台形であらわしていたとか♪

相加平均が、台形の上底と下底を足して、2で割ったとき。つまり、丁度真ん中のところになります。

相乗平均が、台形を相似となるところで2つに分けたところの線。

上底と、下底の長さが変わったときに、相加平均と相乗平均がどう変わるかというのを、図にしてみました。

下をクリック♪
クリックすると、別窓が開いて動きます。


相加相乗2



このように、相加平均と相乗平均が等しくなるのは、上底と下底つまりaとbの値が等しいときだと分かります。(絵が下手な点は、心の目で補修をお願い致します汗)
また、相乗平均は、相加平均を上回ることがないことが分かります。

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テーマ : 数学 - ジャンル : 学問・文化・芸術

コメント

これ、面白いなー!
アニメーションでぐりんぐりん動いて頂くと
「確かに青い方が短いな」
というのが実感できますね。

明快です

分った! という感じです。
アニメーショーンまで作っていただいて有難うございました。

相似ってのは必要ないような・・・

最初の記事で相乗平均の場合には、台形同士が相似だと書いてあって、それが直感的に分らなかったんですが、当たり前なんでしょうか? なんかアニメーションみたらそんなの必要なかったように思えます・・・台形の上辺と底辺比だけ与えられば良いように思えます。幾何の証明は苦手で相似性が直ぐには分らなかったもので・・・

返信遅れました

返信遅れてすいません。

今回の、相乗平均を求めるために、相似を求めましたが、相乗平均という"計算"だけであれば、相似という概念はいらないと思います。

しかし、今回の幾何の証明を使うと、

①台形の相似について考える。

②すると、(上底):(青い辺)=(青い辺):(下底)となるので、
(青い辺)^2=(上底)×(下底)ということが分かります。
そして、
(青い辺)=√(上底)×(下底)と変形ができ、結果的に相乗平均の式が求まることとなります。

上底と下底が求まれば、相乗平均が求まるということは、atomさんのいう通りなのですが、今回はその相乗平均を作る概念を解説するために台形の相似を取り入れました。

ちなみに、台形の相似条件は、
「それぞれの角がすべて等しく、それぞれの辺の比も等しい」
ことであり、上底と下底の平行性から導くことができます。

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